Question

某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元．根據(jù)歷史資料，得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖，如下圖所示．該同學(xué)為這個開學(xué)季購進了160盒該產(chǎn)品，以X（單位：盒，100≤X≤200）表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量，Y（單位：元）表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤．
（1）根據(jù)直方圖估計這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量X的平均數(shù)和眾數(shù)；
（2）將Y表示為X的函數(shù)；
（3）根據(jù)直方圖估計利潤不少于4800元的概率．

Answer 1

（1）153,150（2）y=,（3）0.9

解析試題分析：（1）以各組的中間值為各組需求量的代表值，計算出各組的頻率為概率，頻率最大對應(yīng)的需求量即為需求量的眾數(shù)，各組代表需求量與對應(yīng)的頻率的和就是需求量的平均數(shù)；（2）由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)100≤x≤160時，y=50x-（160-x）•30=80x-1800，當(dāng)160＜x≤200時，y=160×50=8000，由此能將Y表示為X的函數(shù)，（3）根據(jù)（2）中利潤與需求量的關(guān)系式，令y大于等于4800，列出關(guān)于需求量的不等式，求出需求量x的取值范圍，再根據(jù)題中的頻率分布表計算出對應(yīng)的概率.
試題解析：（1）由頻率直方圖得到：
需求量為110的頻率=0.005×20=0.1，
需求量為130的頻率=0.01×20=0.2，
需求量為150的頻率=0.015×20=0.3，
需求量為170的頻率=0.0125×20=0.25，
需求量為190的頻率=0.0075×20=0.15，
∴這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量X的眾數(shù)是150，
這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量X的平均數(shù)：     
=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．         4分
（2）∵每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元，
∴當(dāng)100≤x≤160時，
y=50x-（160-x）•30=80x-1800，
當(dāng)160＜x≤200時，
y=160×50=8000，
∴y=                      8分
（3）∵利潤不少于4800元，
∴80x-4800≥4800，解得x≥120，
∴由（1）知利潤不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．        12分
考點:離散型隨機變量的期望與方差，頻率分布直方圖應(yīng)用，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，分段函數(shù)函數(shù)解析式，概率的估計