Question

8．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)A₁在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心．
（1）求證：BC⊥BB₁；
（2）若AA₁與底面ABC所成角為60°，P為CC₁的中點(diǎn)，求直線BB₁與平面AB₁P所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)A₁在底面△ABC的射影為O，連接A₁O，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得A₁O⊥BC．利用等邊三角形的性質(zhì)及其線面垂直的判定定理可得：BC⊥平面A₁OA，可得BC⊥A₁A，而AA₁∥BB₁，即可證明結(jié)論．
（2）由（1）知A₁O，AO，BC兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于A₁O⊥平面ABC，可得∠A₁AO為A₁A底面△ABC所成的角．求出平面PAB₁的一個(gè)法向量，利用向量夾角公式即可得出．

解答 （1）證明：點(diǎn)A₁在底面△ABC的射影為O，連接A₁O，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，
∵A₁O⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁O⊥BC．
又∵AE⊥BC，AE∩A₁O=O，∴BC⊥平面A₁OA，
∵AA₁?平面A₁OA，∴BC⊥A₁A，
∵AA₁∥BB₁，∴BC⊥BB₁．
（2）解：由（1）知A₁O，AO，BC兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵A₁O⊥平面ABC，∴∠A₁AO為A₁A底面△ABC所成的角．
∵AB=6，∴$AO=\frac{{\sqrt{3}}}{3}×6=2\sqrt{3}$，$OE=\sqrt{3}$，$∠{A_1}AO={60^0}$，A₁O=6，
∴$A（2\sqrt{3}，0，0）$，$B（-\sqrt{3}，3，0）$，$C（-\sqrt{3}，-3，0）$，A₁（0，0，6），
$\overrightarrow{A{A_1}}=\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{C{C_1}}=（-2\sqrt{3}，0，6）$，$\overrightarrow{AC}=（-3\sqrt{3}，-3，0）$，$\overrightarrow{AB}=（-3\sqrt{3}，3，0）$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C_1}}=（-4\sqrt{3}，-3，3）$，$\overrightarrow{A{B_1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B_1}}=（-5\sqrt{3}，3，6）$，
設(shè)平面PAB₁的一個(gè)法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow n=\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow n=0$，
得$\left\{{\begin{array}{l}{-4\sqrt{3}x-3y+3z=0}\\{-5\sqrt{3}x+3y+6z=0}\end{array}}\right.$，得$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，-1，3）$．
$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$=$\frac{12}{\sqrt{13}×\sqrt{48}}$=$\frac{{\sqrt{39}}}{13}$．
∴直線BB₁與平面AB₁P所成角的正弦值$\frac{{\sqrt{39}}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、線面面面垂直與平行的判定及其性質(zhì)定理、空間角、向量夾角公式、法向量的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．