Question

如圖，四邊形與均為菱形，設(shè)與相交于點(diǎn)，若，且.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見解析；（2）余弦值為.

【解析】

試題分析：本題主要考查線面平行、面面平行、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問，先根據(jù)菱形的定義得，，再根據(jù)線面平行的判定得，，再根據(jù)面面平行的判定得面面，從而證明；第二問，先根據(jù)已知條件得建立空間直角坐標(biāo)系的最基本的條件，即兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用夾角公式求出夾角并判斷二面角為銳二面角，所以所求余弦值為正值.

試題解析：(1) 證明：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031705251867383783/SYS201403170526257207423456_DA.files/image012.png">與均為菱形，

所以，.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031705251867383783/SYS201403170526257207423456_DA.files/image014.png">，，

所以，     2分

又，，，

所以

又，

所以                4分

(2) 連接、,因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031705251867383783/SYS201403170526257207423456_DA.files/image013.png">為菱形，且，所以為等邊三角形，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031705251867383783/SYS201403170526257207423456_DA.files/image025.png">為中點(diǎn).所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031705251867383783/SYS201403170526257207423456_DA.files/image025.png">為中點(diǎn),且，

所以

又，所以                     .6分

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031705251867383783/SYS201403170526257207423456_DA.files/image012.png">為菱形，，

則，，，

所以        ..8分

所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則有,所以，令，則

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031705251867383783/SYS201403170526257207423456_DA.files/image048.png">，所以平面的一個(gè)法向量為    .10分

因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031705251867383783/SYS201403170526257207423456_DA.files/image051.png">為銳二面角，設(shè)二面角的平面角為

則

所以二面角的余弦值為                   ..12分

考點(diǎn)：1.線面平行的判定；2.面面平行的判定；3.空間向量法；4.夾角公式.