Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=

2

且點P(3，

7

)在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標(biāo)原點，過點Q （0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為2

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的離心率e=

2

可知雙曲線為等軸曲線，然后把給出的點的坐標(biāo)代入雙曲線方程可求a²的值，則雙曲線方程可求；
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線方程的斜截式，和雙曲線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，再設(shè)出兩交點的坐標(biāo)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），利用根與系數(shù)關(guān)系求出 x1+x2=

4k

1-k2

，x1•x2=-

6

1-k2

，利用△OEF的面積為2

2

求解k的值，則直線l的方程可求．

解答：解：（1）由已知e=

2

可知雙曲線為等軸雙曲線，則a=b，
所以，雙曲線方程為x²-y²=a²，
又點P(3，

7

)在雙曲線C上，∴32-(

7

)2=a2，
解得a²=2，b²=2，
所以，雙曲線C的方程為

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）由題意直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=kx+2
由

y=kx+2 x2 2 - y2 2 =1

得 （1-k²）x²-4kx-6=0，
設(shè)直線l與雙曲線C交于E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），則x₁、x₂是上方程的兩不等實根，
∴1-k²≠0，且△=16k²+24（1-k²）＞0，即k²＜3且k²≠1①，
這時 x1+x2=

4k

1-k2

，x1•x2=-

6

1-k2

又S△OEF=

1

2

|OQ|•|x1-x2|=

1

2

×2×|×1-x2|=|x1-x2|=2

2

即 (x1+x2)2-4x1x2=8，∴(

4k

1-k2

)2+

24

1-k2

=8．
整理得3-k²=（k²-1）²，即k⁴-k²-2=0，∴（k²+1）（k²-2）=0
又k²+1＞0，∴k²-2=0，∴k=±

2

，適合①式．
所以，直線l的方程為y=

2

x+2與y=-

2

x+2．

點評：本題考查了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，采用了設(shè)而不求的解題方法，該方法的核心是二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是把△OEF的面積用含有k的代數(shù)式表示，從而求出k的值．此題是中高檔題．