【題目】過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若的最小值為3.

(1)求拋物線的方程；

(2)過點(diǎn)作直線，交拋物線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）利用拋物線的定義，通過數(shù)形結(jié)合分析得到最小值即為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離解方程即得拋物線的方程；（2）可設(shè)直線AB方程為，求出，，再利用基本不等式得解.

（1）

由題得點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線，

因?yàn)?/span>A是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，由拋物線的定義可知，|AF|=（動(dòng)點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離），

又p>2,所以當(dāng)x=1時(shí)，，所以定點(diǎn)M（1,2）在拋物線的內(nèi)部，

過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,交拋物線于點(diǎn)點(diǎn)，

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A取點(diǎn)時(shí)，|AF|+|AM|此時(shí)最小，最小值即為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.

（2）由題得此時(shí)直線AB的斜率存在，可設(shè)直線AB方程為，

直線CD方程為：，

把直線AB的方程和拋物線的方程聯(lián)立得：

設(shè)

所以

，

同理可得

所以原式=，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，，．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最大值為（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），是的導(dǎo)函數(shù)。

（1）求的值；

（2）任取兩個(gè)不等的正數(shù)，且，若存在正數(shù)，使得成立。求證：。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為解決城市的擁堵問題，某城市準(zhǔn)備對現(xiàn)有的一條穿城公路MON進(jìn)行分流，已知穿城公路MON自西向東到達(dá)城市中心后轉(zhuǎn)向方向，已知∠MON＝，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條城市高架道路L，L在MO上設(shè)一出入口A，在ON上設(shè)一出口B，假設(shè)高架道路L在AB部分為直線段，且要求市中心與AB的距離為10km．

（1）求兩站點(diǎn)A，B之間的距離；

（2）公路MO段上距離市中心30km處有一古建筑群C，為保護(hù)古建筑群，設(shè)立一個(gè)以C為圓心，5km為半徑的圓形保護(hù)區(qū)．因考慮未來道路AB的擴(kuò)建，則如何在古建筑群和市中心之間設(shè)計(jì)出入口A，才能使高架道路及其延伸段不經(jīng)過保護(hù)區(qū)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線分別相交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是菱形，底面，分別是的中點(diǎn)，，，.

（I）證明：；

（II）求直線與平面所成角的正弦值；

（III）在邊上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的三棱柱中，平面，，，的中點(diǎn)為，若線段上存在一點(diǎn)使得平面.

（1）求的長；

（2）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】運(yùn)動(dòng)健康已成為大家越來越關(guān)心的話題，某公司開發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫的公眾號．手機(jī)用戶可以通過關(guān)注該公眾號查看自己每天行走的步數(shù)，同時(shí)也可以和好友進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的PK和點(diǎn)贊．現(xiàn)從張華的好友中隨機(jī)選取40人（男、女各20人），記錄他們某一天行走的步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如表：

步數(shù)

性別

0～2000

2001～5000

5001～8000

8001～10000

＞10000

男

1

2

4

7

6

女

0

3

9

6

2

（1）若某人一天行走的步數(shù)超過8000步被評定為“積極型”，否則被評定為“懈怠型”，根據(jù)題意完成下列2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有90%的把握認(rèn)為男、女的“評定類型”有差異？

積極型

懈怠型

總計(jì)

男

女

總計(jì)

（2）在張華的這40位好友中，從該天行走的步數(shù)不超過5000步的人中隨機(jī)抽取2人，設(shè)抽取的女性有X人，求X=1時(shí)的概率．

參考公式與數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

K2=，其中n=a+b+c+d．

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