【題目】為解決城市的擁堵問(wèn)題,某城市準(zhǔn)備對(duì)現(xiàn)有的一條穿城公路MON進(jìn)行分流,已知穿城公路MON自西向東到達(dá)城市中心后轉(zhuǎn)向方向,已知∠MON=,現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條城市高架道路L,L在MO上設(shè)一出入口A,在ON上設(shè)一出口B,假設(shè)高架道路L在AB部分為直線段,且要求市中心與AB的距離為10km.
(1)求兩站點(diǎn)A,B之間的距離;
(2)公路MO段上距離市中心30km處有一古建筑群C,為保護(hù)古建筑群,設(shè)立一個(gè)以C為圓心,5km為半徑的圓形保護(hù)區(qū).因考慮未來(lái)道路AB的擴(kuò)建,則如何在古建筑群和市中心之間設(shè)計(jì)出入口A,才能使高架道路及其延伸段不經(jīng)過(guò)保護(hù)區(qū)?
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)過(guò)O作直線OE⊥AB于E,則OE=10,設(shè)∠EOA=,可求∠EOB=﹣,(),可得AE=10tan,BE=10tan(﹣),可求AB=,又,結(jié)合,可得cos,可求兩出入口之間距離的最小值為20().
(2)設(shè)切點(diǎn)為F,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)直線AB的方程為y=kx+t(k>0),可求t=20k,或t=60k,可求A(﹣20,0),此時(shí)OA=20,又由(1)可知當(dāng)時(shí),OA=10,綜上即可得解.
(1)過(guò)作直線OE⊥AB于E,則OE=10,設(shè)∠EOA=α,則∠EOB=﹣α,(),
故AE=10tan,BE=10tan(﹣),
AB=10tan+10tan(﹣)=10()=,
又cos=cos(﹣cos+sin)=
由,可得:2﹣,
故cos,當(dāng)且僅當(dāng)2﹣,即=時(shí)取等號(hào),
此時(shí),AB有最小值為20(),即兩出入口之間距離的最小值為20().
(2)由題意可知直線AB是以為圓心,10為半徑的圓的切線,根據(jù)題意,直線AB與圓C要相離,其臨界位置為直線AB與圓C相切,
設(shè)切點(diǎn)為F,此時(shí)直線AB為圓與圓的公切線,因?yàn),出入口A在古建筑群和市中心之間,
如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,
由CF=5,OE=10,因?yàn)閳A的方程為x2+y2=100,圓的方程為(x+30)2+y2=25,
設(shè)直線AB的方程為y=kx+t(k>0),
則:,所以?xún)墒较喑傻茫?/span>=2,所以t=20k,或t=60k,
所以,此時(shí)A(﹣20,0)或A(﹣60,0)(舍去),此時(shí)OA=20,
又由(1)可知當(dāng)時(shí),OA=10,綜上,OA.
即設(shè)計(jì)出入口A離市中心的距離在10km到20km之間時(shí),才能使高架道路及其延伸段不經(jīng)過(guò)保護(hù)區(qū).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)
今年十一黃金周,記者通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)某景區(qū)110名游客對(duì)景區(qū)的服務(wù)是否滿意,得到如下的列聯(lián)表:
性別與對(duì)景區(qū)的服務(wù)是否滿意 單位:名
男 | 女 | 總計(jì) | |
滿意 | 50 | 30 | 80 |
不滿意 | 10 | 20 | 30 |
總計(jì) | 60 | 50 | 110 |
(1)從這50名女游客中按對(duì)景區(qū)的服務(wù)是否滿意采取分層抽樣,抽取一個(gè)容量為5的樣本,問(wèn)樣本中滿意與不滿意的女游客各有多少名?
(2)從(1)中的5名女游客樣本中隨機(jī)選取兩名作深度訪談,求選到滿意與不滿意的女游客各一名的概率;
(3)根據(jù)以上列聯(lián)表,問(wèn)有多大把握認(rèn)為“游客性別與對(duì)景區(qū)的服務(wù)滿意”有關(guān)
注:
臨界值表:
P() | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),,求的最大整數(shù)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C經(jīng)過(guò)M(1,3),N(4,2),P(1,﹣7)三點(diǎn),且直線l:x+ay﹣1=0(aR)是圓C的一條對(duì)稱(chēng)軸,過(guò)點(diǎn)A(﹣6,a) 作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則線段AB的長(zhǎng)度為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),已知點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).若的最小值為3.
(1)求拋物線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線,交拋物線于兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)和點(diǎn),直線,的斜率乘積為常數(shù),設(shè)點(diǎn)的軌跡為,下列說(shuō)法正確的是( )
A.存在非零常數(shù),使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn),距離之和為定值
B.存在非零常數(shù),使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn),距離之和為定值
C.不存在非零常數(shù),使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn),距離之差的絕對(duì)值為定值
D.不存在非零常數(shù),使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn),距離之差的絕對(duì)值為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+lnx(a∈R),g(x)=x2emx(m∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性及最值;
(2)若a>0,且對(duì)x1,x2∈[0,2],f(x1+1)≥g(x2)+a﹣1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在全國(guó)第五個(gè)“扶貧日”到來(lái)之前,某省開(kāi)展“精準(zhǔn)扶貧,攜手同行”的主題活動(dòng),某貧困縣調(diào)查基層干部走訪貧困戶(hù)數(shù)量.甲鎮(zhèn)有基層干部60人,乙鎮(zhèn)有基層干部60人,丙鎮(zhèn)有基層干部80人,每人都走訪了若干貧困戶(hù),按照分層抽樣,從甲、乙、丙三鎮(zhèn)共選20名基層干部,統(tǒng)計(jì)他們走訪貧困戶(hù)的數(shù)量,并將走訪數(shù)量分成,,,,5組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這20人中有多少人來(lái)自丙鎮(zhèn),并估計(jì)甲、乙、丙三鎮(zhèn)的基層干部走訪貧困戶(hù)戶(hù)數(shù)的中位數(shù)(精確到整數(shù)位);
(2)如果把走訪貧困戶(hù)達(dá)到或超過(guò)35戶(hù)視為工作出色,求選出的20名基層干部中工作出色的人數(shù),并從中選2人做交流發(fā)言,求這2人中至少有一人走訪的貧困戶(hù)在的概率.
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