Question

已知：以點(diǎn)C（t，

2

t

）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為原點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：△OAB的面積為定值；
（Ⅱ）設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N，若OM=ON，求圓C的方程．
（Ⅲ）EG、FH是（II）中所求圓C內(nèi)相互垂直的兩條弦，垂足為P（3，2），求四邊形EFGH面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由已知設(shè)圓C的方程是（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，由此能求出△OAB的面積為定值4．
（Ⅱ）由已知得OC垂直平分線段MN．由k_MN=-2，得直線OC的方程是y=

1

2

x．從而解得：t=2或t=-2，由此能求出圓C的方程．
（Ⅲ）設(shè)圓心C到EG、FH的距離分別為d₁，d₂，則d12+d22=2，由此能求出四邊形EFGH的面積的最大值為8．

解答： （Ⅰ）證明：∵圓C過(guò)原點(diǎn)O，∴OC2=t2+

4

t2

．
設(shè)圓C的方程是（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，…（2分）
令x=0，得y1=0，y2=

4

t

；
令y=0，得x₁=0，x₂=2t，
∴S△OAB=

1

2

×OA×OB=

1

2

×|

4

t

|×|2t|=4，
即△OAB的面積為定值4．…（4分）
（Ⅱ）解：∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分線段MN．
∵k_MN=-2，∴k_OC=

1

2

，
∴直線OC的方程是y=

1

2

x．
∴

2

t

=

1

2

t，解得：t=2或t=-2．…．（6分）
當(dāng)t=2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（2，1），OC=

5

，
此時(shí)C到直線y=-2x+4的距離d=

1

5

＜

5

，
圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn)．…．（7分）
當(dāng)t=-2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（-2，-1），OC=

5

，
此時(shí)C到直線y=-2x+4的距離d=

9

5

＞

5

，
圓C與直線y=-2x+4不相交，…．（8分）
∴t=-2不符合題意舍去． 
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．…．（9分）
（Ⅲ）解：設(shè)圓心C到EG、FH的距離分別為d₁，d₂，
則d12+d22=2，
四邊形EFGH的面積S=

1

2

|EG||FH|
=2

5-d12

•

5-d22

≤8，…．（12分）
所以四邊形EFGH的面積的最大值為8．…..（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積為定值的證明，考查圓的方程的求法，考查四邊形面積的最大值的求法，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．