Question

有四個(gè)函數(shù)分別是：
①f（x）=2x+1；
②f（x）=e^x；
③f（x）=lnx；
④f（x）=sinx．
對(duì)于滿足：對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x+2）+f（x）≥2f（x+1）的函數(shù)f（x）有（　　）個(gè)．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將所給的不等式化為：“f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）”，得到不等式對(duì)應(yīng)的函數(shù)含義，
根據(jù)基本函數(shù)同為增函數(shù)時(shí)的增長(zhǎng)情況，對(duì)答案項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可．

解答：解：由f（x+2）+f（x）≥2f（x+1）得，
f（x+2）-f（x+1）≥f（x+1）-f（x）（Ⅰ），
∵（x+2）-（x+1）=（x+1）-x，
∴（Ⅰ）說(shuō)明自變量變化相等時(shí)，當(dāng)自變量越大時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化量越來(lái)越大或相等，
①、f（x）=2x+1是一次函數(shù)，且在R上直線遞增，函數(shù)值的變化量是相等的，①正確；
②、f（x）=e^x是增長(zhǎng)速度最快-呈爆炸式增長(zhǎng)的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)自變量越大時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化量越來(lái)越大，②正確；
③、f（x）=lnx是增長(zhǎng)越來(lái)越慢的對(duì)數(shù)函數(shù)，當(dāng)自變量越大時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化量越來(lái)越小，③錯(cuò)；
④、f（x）=sinx在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，舉例：f（0）=0，f（

π

2

）=1，f（π）=0，④錯(cuò)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本函數(shù)同為增函數(shù)時(shí)的增長(zhǎng)速度的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并能理解不等式所表達(dá)的函數(shù)意義，考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．