Question

20．?t∈R，不等式|2x-2|+4x＜|t-3|+|t-4|恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)x的取值范圍M．
（2）設(shè)a，b∈M，比較|1-4ab|與2|a-b|的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值三角不等式求得，|t-3|+|t-4|的最小值為1，可得|2x-2|+4x＜1，去掉絕對(duì)值，分類討論，求得x的范圍．
（2）根據(jù)a，b∈M，可得a＜-$\frac{1}{2}$，b＜-$\frac{1}{2}$，故有4ab＞1，可得|1-4ab|=4ab-1，分a≥b和a＜b兩種情況，分別較|1-4ab|與2|a-b|的大小關(guān)系，綜合可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵?t∈R，不等式|2x-2|+4x＜|t-3|+|t-4|恒成立，|t-3|+|t-4|≥|t-3-（t-4）|=1，
∴應(yīng)有|2x-2|+4x＜1，∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x-2+4x＜1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{2-2x+4x＜1}\end{array}\right.$②．
解①求得x∈∅，解②求得x＜-$\frac{1}{2}$．
綜上可得，實(shí)數(shù)x的取值范圍M={x|x＜-$\frac{1}{2}$}．
（2）∵a，b∈M，則a＜-$\frac{1}{2}$，b＜-$\frac{1}{2}$，∴ab＞$\frac{1}{4}$，4ab＞1，∴|1-4ab|=4ab-1．
當(dāng)a≥b時(shí)，|1-4ab|-2|a-b|=4ab-1-2（a-b）=4ab+2b-2a-1=2b（2a+1）-（2a+1）=（2a+1）（2b-1），
∵2a＜-1，2b＜-1，∴2a+1＜0，2b-1＜0，∴（2a+1）（2b-1）＞0，∴|1-4ab|＞-2|a-b|．
當(dāng)a＜b時(shí)，|1-4ab|-2|a-b|=4ab-1+2（a-b）=4ab-2b+2a-1=2b（2a-1）+（2a-1）=（2a-1）（2b+1），
∵2a＜-1，2b＜-1，∴2a-1＜0，2b+1＜0，∴（2a+1）（2b-1）＞0，∴|1-4ab|＞-2|a-b|．
綜上可得，|1-4ab|＞-2|a-b|．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．