Question

7．如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形ACEF為平行四邊形，設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)G，AB=BD=2，AE=$\sqrt{3}$，∠EAD=∠EAB．
（1）證明：平面ACEF⊥平面ABCD；
（2）若∠EAG=60°，求三棱錐F-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）連接EG，說(shuō)明BD⊥AC，證明BD⊥EG，推出BD⊥平面ACFE，然后證明平面ACEF⊥平面ABCD；
（2）說(shuō)明點(diǎn)F到平面BDE的距離為點(diǎn)C到平面BDE的距離的兩倍，利用V_F-BDE=2V_C-BDE，轉(zhuǎn)化求解三棱錐F-BDE的體積即可．

解答 解：（1）證明：

連接EG，
∵四邊形ABCD為菱形，
∵AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，
在△EAD和△EAB中，
AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，
∴△EAD≌△EAB，
∴ED=EB，
∴BD⊥EG，
∵AC∩EG=G，
∴BD⊥平面ACFE，
∵BD?平面ABCD，
∴平面ACEF⊥平面ABCD；
（2）∵EF∥GC，EF=2GC，∴點(diǎn)F到平面BDE的距離為點(diǎn)C到平面BDE的距離的兩倍，
所以V_F-BDE=2V_C-BDE，
作EH⊥AC，∵平面ACEF⊥平面ABCD，EH⊥平面ABCD，
∴V_C-BDE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱錐F-BDE的體積為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．