Question

16．若a＞0，b＞0，4a+b=ab．
（Ⅰ）求a+b的最小值；
（Ⅱ）當a+b取得最小值時，a，b的值滿足不等式|x-a|+|x-b|≥t²-2t對任意的x∈R恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可求a+b的最小值；
（Ⅱ）利用絕對值不等式|x-a|+|x-b|≥|a-b|=3，因為滿足不等式|x-a|+|x-b|≥t²-2t對任意的x∈R恒成立，所以3≥t²-2t，即可求t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為4a+b=ab，∴$\frac{4}+\frac{1}{a}$=1，
所以a+b=（a+b）（$\frac{4}+\frac{1}{a}$）=5+$\frac{4a}$+$\frac{a}$≥5+4=9，
當且僅當$\frac{4a}$=$\frac{a}$時，即b=2a時，a+b有最小值9，由4a+b=ab，可求得此時a=3，b=6；
（Ⅱ）|x-a|+|x-b|≥|a-b|=3，因為滿足不等式|x-a|+|x-b|≥t²-2t對任意的x∈R恒成立，所以3≥t²-2t，解得t∈[-1，3]．

點評 本題考查基本不等式的運用，考查絕對值不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．