Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=

2

，E、F分別為線段PD和BC的中點．
（Ⅰ）求證：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）在線段BC上是否存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°？若存在，試確定G的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PA中點為H，連結(jié)CE、HE、FH，由已知得ABCD是平行四邊形，四邊形FCEH是平行四邊形，由此能證明CE∥平面PAF．
（2）由已知得CA⊥AD，CA⊥平面PAD，CA⊥PA，建立平面直角坐標系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出平面PAG和平面PGC所成二面角的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：取PA中點為H，連結(jié)CE、HE、FH，
∵H、E分別為PA、PD的中點，∴HE∥AD，HE=

1

2

AD，
∵ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點，
∴FC∥AD，EC=

1

2

AD，
∴HE∥FC，HE=FC，四邊形FCEH是平行四邊形，
∴EC∥HF，又∵CE不包含于平面PAF，HF?平面PAF，
∴CE∥平面PAF．…（4分）
（Ⅱ）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形且∠ACB=90°，
∴CA⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，
∴CA⊥平面PAD，∴CA⊥PA
由PA=AD=1，PD=

2

知，PA⊥AD…（5分）
∴建立如圖所示的平面直角坐標系A(chǔ)-xyz
∵PA=BC=1，AB=

2

，∴AC=1，
∴B（1，-1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），
假設(shè)BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，
設(shè)點G的坐標為（1，a，0），-1≤a≤0，
∴

AG

=(1，a，0)，

AP

=（0，0，1），
設(shè)平面PAG的法向量為

m

=（x，y，z），
則

x+ay=0 z=0

，令x=a，y=-1，z=0，∴

m

=（a，-1，0），
又

CG

=（0，b，0），

CP

=（-1，0，1），
設(shè)平面PCG的法向量為

n

=（x，y，z），
則

by=0 -x+z=0

，令x=1，y=0，z=1，∴

n

=（1，0，1），…（9分）
∵平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

a

a2+1 • 2

|=

1

2

，
∴a=±1，又-1≤a≤0，∴a=-1，…（11分）
所以線段BC上存在一點G，
使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°
點G即為B點．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查滿足條件的點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．