Question

已知拋物線y²=4x，過點M（0，2）的直線與拋物線交于A，B兩點，且直線與x軸交于點C
（1）求證：|MC|²=|MA|•|MB|
（2）設

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，試問α+β是否為定值？若是請求出定值，若不是請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．設直線AB的方程為y=kx+2（k≠0），與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，利用兩點間的距離公式即可證明；
（2）利用向量相等可得x₁=α（x₀-x₁），x₂=β（x₀-x₂）．α+β=

x1

x0-x1

+

x2

x0-x2

，通過化簡，把根與系數(shù)的關系及其C點的坐標代入即可得出定值．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．
設直線AB的方程為y=kx+2（k≠0），聯(lián)立

y=kx+2 y2=4x

，化為k²x²-（4k+4）x+4=0．
∵直線AB與拋物線相交于兩點，∴△=（4k+4）²-16k²＞0，解得k＞-

1

2

．
∴x1+x2=

4k+4

k2

，x1x2=

4

k2

．
由y=kx+2，令y=0，解得x=-

2

k

．∴C（-

2

k

，0）．
∴|MC|2=

4

k2

+4．
|MA||MB|=

x 2 1 +(y1-2)2

x 2 2 +(y2-2)2

=

(x1x2)2+ x 2 1 (kx2)2+ x 2 2 (kx1)2+(k2x1x2)2

=|x₁x₂|（1+k²）=

4

k2

(1+k2)=

4

k2

+4．
∴|MC|²=|MA|•|MB|．
（2）∵

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，∴（x₁，y₁-2）=α（x₀-x₁，-y₁），（x₂，y₂-2）=β（x₀-x₂，-y₂）．
∴x₁=α（x₀-x₁），x₂=β（x₀-x₂）．
∴α+β=

x1

x0-x1

+

x2

x0-x2

=

x0(x1+x2)-2x1x2

x 2 0 -x0(x1+x2)+x1x2

=

- 2 k • 4k+4 k2 - 8 k2

4 k2 + 2 k • 4k+4 k2 + 4 k2

=-1．
∴α+β=-1是定值．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、兩點間的距離公式、向量相等等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．