Question

6．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，S_n=λa_n-2，其中λ為常數．
（Ⅰ）求λ的值及數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}•{{log}_2}{a_{n+2}}}}$，數列{b_n}的前n項和T_n，求證：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （I）利用數列遞推關系、等比數列的通項公式即可得出．
（Ⅱ）利用對數的運算性質、“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=2，S_n=λa_n-2，
當n=1時，a₁=λa₁-2，∴λ=2．
∴S_n=2a_n-2，當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2．
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2（{{a_{n-1}}≠0}）$，
∴數列{a_n}是等比數列，公比為與首項都為2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）證明：b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}•{{log}_2}{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{{n•（{n+2}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）}]$=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）}-$$\frac{1}{2（n+2）}$＜$\frac{3}{4}$，即證．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式、對數的運算性質、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．