Question

設(shè)向量

a

=（sinθ+cosθ，1），

b

=（5，1）垂直，且θ∈（0，π），則tanθ等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用向量垂直即數(shù)量積為0，得到sinθ+cosθ=-

1

5

，運(yùn)用平方和平方關(guān)系，求得sinθ-cosθ，進(jìn)而運(yùn)用商數(shù)關(guān)系，即可得到正切值．

解答： 解：由于向量

a

=（sinθ+cosθ，1），

b

=（5，1），且垂直，
則

a

•

b

=0，即5（sinθ+cosθ）+1=0，即sinθ+cosθ=-

1

5

，
平方得，sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=

1

25

，
則2sinθcosθ=

1

25

-1=-

24

25

，
且θ∈（0，π），則sinθ＞0，cosθ＜0，
則sinθ-cosθ=

sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ

=

1+ 24 25

=

7

5

，
則有sinθ=

3

5

，cosθ=-

4

5

，
則tanθ=

sinθ

cosθ

=-

3

4

．
故答案為：-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和垂直的條件，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．