Question

設(shè)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），已知方程f（f（x））=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且其中兩個(gè)根之和為-1，求證：c≤-

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，x²+bx+c=0有兩個(gè)不同的根，從而可得△=b²-4c＞0，并設(shè)x²+bx+c=0的兩個(gè)不同的根為m，n；從而可得△=b²-4（c-m）＞0，△=b²-4（c-n）＞0，進(jìn)而求c．

解答： 證明：由題意，x²+bx+c=0有兩個(gè)不同的根，
則△=b²-4c＞0，
設(shè)x²+bx+c=0的兩個(gè)不同的根為m，n；
則x²+bx+c=m，x²+bx+c=n各有兩個(gè)不同的根；
故△=b²-4（c-m）＞0，
△=b²-4（c-n）＞0，
則b²-4c+2（m+n）＞0，
即4c＜b²-2b恒成立，
又∵b²-2b≥-1，
∴4c＜-1；
∴c≤-

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點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次方程的判斷與根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．