Question

已知函數(shù)．
（I）若y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為x+y-3=0，求實(shí)數(shù)a、b的值．
（II）當(dāng)a≠0時(shí)，若f（x）在（-1，1）上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）依題意，1+f（1）-3=0∴f（1）=2．
即．…（2分）∵切線(xiàn)x+y-3=0的斜率為-1，∴f'（1）=-1，即a²-2a+1=0，a=1．…（4分）
代入解得．…6 分
（Ⅱ） 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，
所以方程f'（x）=0在（-1，1）上有解．…（8分）
因?yàn)閒'（x）=x²-2ax+a²-1=[x-（a-1）]•[x-（a+1）]
所以-1＜a-1＜1或-1＜a+1＜1…（10分）∴a∈（-2，0）∪（0，2）…（12分）
分析：（Ⅰ）先把x=0代入切線(xiàn)方程，求出的y值為切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，確定出切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入f（x）中即可求出b的值，然后求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中，令求出的導(dǎo)函數(shù)值等于切線(xiàn)方程的斜率，即可求出a的值；
（Ⅱ）函數(shù)不單調(diào)，即函數(shù)在區(qū)間 （-1，1）有極值，即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，令導(dǎo)函數(shù)為0，結(jié)合一元二次不等式即可求出a的范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某地切線(xiàn)方程的斜率，以及一元二次不等式的解法．要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法則，采用轉(zhuǎn)化的思想求不等式的解集．