3.已知以O(shè)為中心的雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn),M為PF的中點(diǎn),若△OMF為等腰直角三角形,則C的離心率等于( 。
A.$\sqrt{2}-1$B.$\sqrt{2}+1$C.$2+\sqrt{2}$D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

分析 根據(jù)題意,作出雙曲線(xiàn)的圖形,設(shè)雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn)為G,且PG=2c,分析可得△GPF也是等腰直角三角形,進(jìn)而分析可得|PG|=|GF|=2c,|PF|=2$\sqrt{2}$c,由雙曲線(xiàn)的定義可得2a=||PF|-|PG||=(2$\sqrt{2}$-2)c,由雙曲線(xiàn)的離心率公式計(jì)算可得答案.

解答 解:根據(jù)題意,如圖:設(shè)雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn)為G,設(shè)PG=2c,
O為FG的中點(diǎn),M為PF的中點(diǎn),則OM為三角形PFG的中位線(xiàn),
故△OMF∽△GPF,
故△GPF也是等腰直角三角形,
分析有|PG|=|GF|=2c,
則|PF|=2$\sqrt{2}$c,
則2a=||PF|-|PG||=(2$\sqrt{2}$-2)c,
該雙曲線(xiàn)的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}-2}$=$\sqrt{2}$+1;
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是依據(jù)題意找到a,c之間的等量關(guān)系.

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9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的a,b的值分別等于( 。
A.32,$-\frac{{\sqrt{2}}}{6}-\frac{1}{3}$B.32,$\frac{{\sqrt{2}}}{6}+\frac{1}{3}$C.8,$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1$D.32,$\frac{{\sqrt{2}}}{2}+1$

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(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\frac{2λ}{tan∠MON}≠0$(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)直線(xiàn)m繞點(diǎn)F1轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求λ的最大值.

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11.命題$?{x_0}∈R,{x_0}^2-2{x_0}+4>0$的否定是?x∈R,x2-2x+4≤0

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8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x,1)(x≥1),則cosθ+sinθ的取值范圍是(1,$\sqrt{2}$].

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15.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=3t+6\end{array}\right.$(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為$ρtanθ=\frac{8}{sinθ}$.

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12.已知正整數(shù)λ,μ為常數(shù),且λ≠1,無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=λan-μ.n∈N*.記數(shù)列{an}中任意不同兩項(xiàng)的和構(gòu)成的集合為A.
(1)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求λ的值;
(2)若2015∈A,求μ的值;
(3)已知m≥1,求集合{x|3μ•2n-1<x<3μ•2n,x∈A}的元素個(gè)數(shù).

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