Question

9．已知點A，B分別在射線CM，CN（不含端點C）上運動，$∠MCN=\frac{2π}{3}$，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．
（1）若b是a和c的等差中項，且c-a=4，求c的值；
（2）若$c=\sqrt{3}$，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用等差中項以及已知條件，結(jié)合余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）利用正弦定理列出三角形的周長，通過兩角和與差的三角函數(shù)結(jié)合三角函數(shù)的有界性求解即可．

解答 解：（1）因為a，b，c成等差數(shù)列，且公差為2，故a=c-4，b=c-2，
在△ABC中，$∠MCN=\frac{2π}{3}$，所以$cosC=-\frac{1}{2}$，
由余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}$；代入得c²-9c+14=0，
解得c=2或c=7；因為c＞4，故c=7．
（2）在△ABC中，$C=\frac{2π}{3}$，$c=\sqrt{3}$，設(shè)∠ABC=θ，
由正弦定理得$\frac{AC}{sinθ}=\frac{BC}{{sin（\frac{π}{3}-θ）}}=\frac{ab}{{sin\frac{2π}{3}}}$，所以AC=2sinθ，$BC=2sin（\frac{π}{3}-θ）$；
設(shè)△ABC的周長為l，則$l=2sinθ+2sin（\frac{π}{3}-θ）+\sqrt{3}=2sin（θ+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，
因為$θ∈（0，\frac{π}{3}）$，所以當$θ+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{6}$時，周長l取到最大值$2+\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，以及三角函數(shù)的有界性的應(yīng)用，考查計算能力．