Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，F為AC和BD的交點．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）證明：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）連接EF，利用中位線定理得出EF∥PB，故而PB∥平面AEC；
（2）由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，結合AC⊥BD可得BD⊥平面PAC，故而平面PAC⊥平面PBD．

解答 解：（1）證明：連接EF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴F是BD的中點，又E是PD的中點，
∴PB∥EF，又EF?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，又∵BD?平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題．