Question

15．設(shè)a為實(shí)數(shù)，f（x）=lnx-ax
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在定義域下令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．
（Ⅱ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=lnx-x，定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＜0得x＞1，
令f′（x）＞0得0＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）=lnx-x的單調(diào)減區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）．
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∵x＞0，所以當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
函數(shù)無極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上f′（x）＞0，
f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上f′（x）＜0，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函數(shù)，f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是減函數(shù)，
故f（x）的極大值是f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)該先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．