如圖,已知x2+(y+2)2=4與坐標(biāo)軸相交于O、A兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),另有拋物線y=ax2(a>0).
(Ⅰ)若拋物線上存在點(diǎn)B,直線BC切園于點(diǎn)C,四邊形OACB是平行四邊形,求拋物線的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A作拋物線的切線,切點(diǎn)為P,直線AP與園相交于另一點(diǎn)Q,求
|AQ|
|QP|
的取值范圍.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(Ⅰ)先確定C,B的坐標(biāo),再求出a,即可求拋物線的方程;
(Ⅱ)求出AP的方程,代入A的坐標(biāo),再與圓的方程聯(lián)立,求出Q的坐標(biāo),即可求
|AQ|
|QP|
的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)∵OACB是平行四邊形,OA∥BC,
∴C(2,-2),B(2,4a),
又A(0,-4),∴4a-4=-2,解得a=
1
2

∴拋物線的方程為y=
1
2
x2
(Ⅱ)不妨設(shè)P(t,at2)(t≠0).
∵y'|x=t=2ax|x=t=2at,
∴AP的方程為y=2at(x-t)+at2,即y=2atx-at2
又A(0,-4),∴at2=4,即a=
4
t2

∴AP的方程為y=
8
t
x-4

聯(lián)立方程組
y=
8
t
x-4
x2+(y+2)2=4
,消去y,得(t2+64)x2-32tx=0.
∴Q的橫坐標(biāo)為xQ=
32t
t2+64

|AQ|
|QP|
=
xQ-xA
xP-xQ
=
32
t2+32

t2=
4
a
∈(0,+∞)
,∴
|AQ|
|QP|
的取值范圍是(0,1).
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線方程,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

△ABC中,sinA<sinB是A<B的( 。
A、充分而不必要條件
B、必要而不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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已知集合A={x|x2+ax-6a2≤0},B={x||x-2|<1},若A∩B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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已知命題p:k2-8k-20≤0,命題q:方程
x2
4-k
+
y2
1-k
=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.
(Ⅰ)命題q為真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)若命題“p∨q”為真,命題“p∧q”為假,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若B⊆A,求a.

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定圓O的直徑AB=2R,BC為⊙O的動(dòng)弦,延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,AC與OD交于P,求點(diǎn)P軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,且拋物線過(guò)點(diǎn)M(1,2).
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x軸,過(guò)點(diǎn)N(13,-2)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),設(shè)直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,求k1•k2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
,
b
滿足|2
a
+3
b
|=1,則
a
b
最大值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

以下幾個(gè)命題中:其中真命題的序號(hào)為
 
(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù),
PA
-
PB
=k
,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;
②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)
則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓;
③雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1
與橢圓
x2
35
+y2=1
有相同的焦點(diǎn).
④在平面內(nèi),到定點(diǎn)(2,1)的距離與到定直線3x+4y-10=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.

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