Question

13．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且2acosB=bcosC+ccosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，a+c=4，求a和c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理得：sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．可求cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜B＜π，即可求B的值．
（2）由已知及余弦定理可求ac=4，聯(lián)立a+c=4，從而解得a，c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，由2acosB=bcosC+ccosB，及正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
即sin（B+C）=2sinAcosB，
又A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，
從而sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．
故cosB=$\frac{1}{2}$，
又0＜B＜π，
所以B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b=2，B=$\frac{π}{3}$，a+c=4①，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：4=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=16-3ac，可得：ac=4②，
∴①②聯(lián)立解得：a=c=2．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．