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12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若Sn=2an-n,則2a1a2+4a2a3+8a3a4+16a4a5=3031

分析 Sn=2an-n,n≥2時,an=Sn-Sn-1,化為:an+1=2(an-1+1),n=1時,a1=2a1-1,解得a1.利用等比數(shù)列的通項公式可得an=2n-1,于是2nanan+1=2n2n12n+11=12n112n+11.利用裂項求和方法即可得出.

解答 解:∵Sn=2an-n,∴n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an-n-[2an-1-(n-1)],∴an=2an-1+1,化為:an+1=2(an-1+1),
n=1時,a1=2a1-1,解得a1=1.
∴數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,首項為2,公比為2.
∴an+1=2n,即an=2n-1,
2nanan+1=2n2n12n+11=12n112n+11
2a1a2+4a2a3+8a3a4+16a4a5=1211221+12211231+…+12411251=1-1251=3031
故答案為:3031

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項求和方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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