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7.已知在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosθ}\\{y=1+4sinθ}\end{array}\right.(θ為參數(shù)),直線l經(jīng)過定點P(3,4),傾斜角為\frac{π}{6}
(Ⅰ)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點,求|PA|•|PB|的值.

分析 (Ⅰ)由直線l經(jīng)過定點P(3,4),傾斜角為\frac{π}{6},能求出直線l的參數(shù)方程;曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)θ,能求出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程,得:{t}^{2}+(3+\sqrt{3})t-6=0,由此能求出|PA|•|PB|的值.

解答 解:(Ⅰ)∵直線l經(jīng)過定點P(3,4),傾斜角為\frac{π}{6},
∴直線l的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=4+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.(t為參數(shù)).
∵曲線C的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosθ}\\{y=1+4sinθ}\end{array}\right.(θ為參數(shù)),
∴曲線C消去參數(shù)θ,得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x-2)2+(y-1)2=16.
(Ⅱ)把直線l的參數(shù)方程\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=4+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.(t為參數(shù))代入曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-2)2+(y-1)2=16.
整理,得:{t}^{2}+(3+\sqrt{3})t-6=0
設(shè)t1,t2是方程的兩個根,則t1t2=-6,
∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=6.

點評 本題考查直線的參數(shù)方程、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查兩線段乘積的求法,考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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