Question

1．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，點D為AC的中點，點E為AA₁上．
（Ⅰ）當AA₁=4AE時，求證：DE⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）當AA₁=2AE時，求三棱錐C₁-EBD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BD⊥AC，BD⊥DE．連接EC₁，證明ED⊥C₁D，然后證明DE⊥平面BDC₁．
（Ⅱ）求出${S_{△{C_1}DE}}=\frac{3}{2}$，說明BD為三棱錐B-C₁DE的高，然后利用等體積法轉化求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵△ABC為正三角形，點D為AC的中點，
∴BD⊥AC，∴BD⊥面ACC₁A₁，從而BD⊥DE．
連接EC₁，∵AA₁=4AE，AB=AA₁=2，∴$EA=\frac{1}{2}$，$ED=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，$E{C_1}=\sqrt{{2^2}+\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}$，${C_1}D=\sqrt{5}$，
則$EC_1^2=E{D^2}+{C_1}{D^2}$，∴ED⊥C₁D，
又C₁D∩BD=D，∴DE⊥平面BDC₁．
（Ⅱ）解：∵AA₁=2AE，∴$ED=\sqrt{2}，{C_1}D={C_1}E=\sqrt{5}$，∴${S_{△{C_1}DE}}=\frac{3}{2}$，
由（Ⅰ）知BD⊥面ACC₁A₁中，所以BD為三棱錐B-C₁DE的高，
所以${V_{{C_1}-EBD}}={V_{B-{C_1}DE}}=\frac{1}{3}{S_{△{C_1}DE}}•BD=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，等體積法的應用，考查空間想象能力以及計算能力．