Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+2）-log_a（2-x），a＞0且a≠1．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）若0＜a＜1，解關于x的不等式f（a^4x-1-2）＞0．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）求解

x+2＞0 2-x＞0

，-2＜x＜2，得出解集．（2）f（x）奇偶性的定義判斷為奇函數(shù)，（3）先求解f（x）＞0的解集，再整體把a^4x-1-2代入得-2＜a^4x-1-2＜0，即0＜a^4x-1＜2，x＞

1

4

+

1

4

log

2 a

，得出所求解集．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a（x+2）-log_a（2-x），a＞0且a≠1，
∴

x+2＞0 2-x＞0

，-2＜x＜2，
即函數(shù)f（x）的定義域（-2，2），
（2）f（x）=log

2+x 2-x a

，
∵f（-x）=log

2-x 2+x a

=-log

2+x 2-x a

=-f（x）
∴f（-x）=-f（x），
即f（x）的奇函數(shù)，
（3）∵f（x）＞0，
∴l(xiāng)og_a（x+2）＞log_a（2-x），
當0＜a＜1時，x+2＜2-x，即x＜0，
因為：定義域（-2，2）所以：-2＜x＜0，
解關于x的不等式f（a^4x-1-2）＞0．
-2＜a^4x-1-2＜0，即0＜a^4x-1＜2，x＞

1

4

+

1

4

log

2 a

，
所以關于x的不等式f（a^4x-1-2）＞0解集為：（

1

4

+

1

4

log

2 a

，+∞）．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質，運用證明，求解不等式的解集，考查了轉化的思想方法．