【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)證明當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式恒成立;

(Ⅲ)若正實(shí)數(shù)滿足,證明.

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析

【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),從而可確定函數(shù)的單調(diào)性;(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其最值,將恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(3)將代數(shù)式放縮,構(gòu)造關(guān)于的一元二次不等式,解不等式即可.

試題解析:(Ⅰ)

,得

,所以.

所以的單調(diào)減區(qū)間為,函數(shù)的增區(qū)間是.

(Ⅱ)令 ,

所以 .

因?yàn)?/span>,

所以.

,得.

所以當(dāng),;

當(dāng)時(shí),.

因此函數(shù)是增函數(shù),在是減函數(shù).

故函數(shù)的最大值為

.

,因?yàn)?/span>,

又因?yàn)?/span>是減函數(shù).

所以當(dāng)時(shí),,

即對于任意正數(shù)總有.

所以關(guān)于的不等式恒成立.

(Ⅲ)由

,

從而 .

,則由得,.

可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以,

所以,

,

因此成立.

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