Question

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且兩個坐標系取相等的長度單位．曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設過點P（2，0），傾斜角為

π

6

的直線l與曲線C交于A、B兩點，求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（I）把極坐標方程利用x=ρcosθ、y=ρsinθ，化為直角坐標方程．
（Ⅱ）將直線l的參數方程代入y²=4x，利用韋達定理求得t₁+t₂和t₁t₂的值，可得|PA|+|PB|=|t₁ -t₂|=

(t1+t2)2-4t1•t2

和|PA|•|PB|=|t₁ •t₂|的值，即可求得 

1

|PA|

+

1

|PB|

=

|PA|+|PB|

|PA|•|PB|

的值．

解答： 解：（I）由ρsin²θ=4cosθ，得 （ρsinθ）²=4ρcosθ，
所以曲線C的直角坐標方程為y²=4x．
（Ⅱ）將直線l的參數方程代入y²=4x，得t²-8

3

t-32=0．
設A、B兩點對應的參數分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=8

3

，t₁t₂=-32．
∴|PA|+|PB|=|t₁ -t₂|=

(t1+t2)2-4t1•t2

=8

5

，|PA|•|PB|=|t₁ •t₂|=32，
∴

1

|PA|

+

1

|PB|

=

|PA|+|PB|

|PA|•|PB|

=

5

4

．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線的參數方程、參數的意義，屬于基礎題．