Question

16．在（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{{2\root{4}{x}}}$）ⁿ的展開式中，已知含x的一次項(xiàng)為第五項(xiàng)．
（1）求n的值；
（2）求展開式中的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式結(jié)合題意，即可求出n的值；
（2）利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可求出展開式中的有理項(xiàng)．

解答 解：（1）（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{{2\root{4}{x}}}$）ⁿ展開式的通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{n-r}$•${（\frac{1}{2\root{4}{x}}）}^{r}$
=${C}_{n}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$，
由已知得，當(dāng)r=4時(shí)，為x的一次項(xiàng)，
即$\frac{2n-12}{4}$=1，
解得n=8；
（2）由（1）知，T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{16-3r}{4}}$，
要使T_r+1為有理項(xiàng)，則$\frac{16-3r}{4}$∈Z；
又r=0，1，2，…，8，
所以r=0，4，8；
所以展開式中的有理項(xiàng)為：
第1項(xiàng)T₁=x⁴，
第5項(xiàng)T₅=$\frac{35}{8}$x，
第9項(xiàng)T₉=$\frac{1}{25{6x}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．