Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）
（1）若f（1）＜0，求a的取值范圍；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（1）＜0，解不等式可得a的取值范圍．
（2）根據(jù)f（1）=$\frac{3}{2}$確定a=2的值，從而可得函數(shù)g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，可得t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²�。╰≥$\frac{3}{2}$），分類討論，利用最小值為-2，可求m的值

解答 解：（1）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，
∴a-$\frac{1}{a}$＜0，
又a＞0，且a≠1，
∴0＜a＜1     
（2）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x，
則f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m² （t≥$\frac{3}{2}$）
若m≥$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=m時(shí)，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-2，解得m=$\frac{25}{12}$＞$\frac{3}{2}$，舍去
綜上可知m=2．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查解不等式，考查二次函數(shù)最值的研究，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，確定參數(shù)的范圍．