Question

己知長方體的三條棱長分別為a、b、c，其外接球的半徑為

3

2

（Ⅰ）求長方體體積的最大值；
（Ⅱ）設(shè)

m

=（1，3，

6

），

n

=（a，b，c），求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：柯西不等式,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用,不等式

分析：（1）由題意可知 a＞0，b＞0，c＞0且a²+b²+c²=9，利用基本不等式求得 abc≤3

3

，從而求得長方體體積的最大值．
（2）

m

•

n

=a+3b+

6

c，根據(jù)柯西不等式，有(a2+b2+c2)(12+32+(

6

)2)≥(a+3b+

6

c)2，即a+3b+

6

c≤12，從而得到

m

•

n

的最大值．

解答： 解：（1）由題意可知 a＞0，b＞0，c＞0且a²+b²+c²=9，
由三個(gè)正數(shù)的基本不等式可得 a2+b2+c2≥3

3	a2b2c2

=3(abc)

2

3

，
即 abc≤3

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

3

時(shí)，取等號，
所以長方體體積的最大值V=3

3

．
（2）

m

•

n

=a+3b+

6

c，根據(jù)柯西不等式，有(a2+b2+c2)(12+32+(

6

)2)≥(a+3b+

6

c)2，故有 a+3b+

6

c≤12，
當(dāng)且僅當(dāng)“

a

1

=

b

3

=

c

6

”即“a=

3

4

，b=

9

4

，c=

3 6

4

”時(shí)，

m

•

n

=a+3b+

6

c取得最大值12．

點(diǎn)評：本題主要考查基本不等式、柯西不等式的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．