Question

20．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為8，
（1）求橢圓的方程； 
（2）求與上述橢圓共焦點(diǎn)，且一條漸近線(xiàn)為y=$\sqrt{3}$x的雙曲線(xiàn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），根據(jù)橢圓的定義得2a=8，算出a=4．再由離心率的公式建立關(guān)于a、b的等式，化簡(jiǎn)為關(guān)于b的方程解出b²=12，即可得出橢圓G的方程．
（2）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；據(jù)雙曲線(xiàn)的系數(shù)滿(mǎn)足c²=a²+b²；雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程與系數(shù)的關(guān)系列出方程組，求出a，b，寫(xiě)出雙曲線(xiàn)方程．

解答 解：設(shè)橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵橢圓上一點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為：8，
∴根據(jù)橢圓的定義得2a=8，可得a=4．
又∵橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，∴e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{\sqrt{16-^{2}}}{4}$=$\frac{1}{2}$，解之得b²=12，
由此可得橢圓G的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）
由橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，求得兩焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0），
∴對(duì)于雙曲線(xiàn)C：c=2．
又y=$\sqrt{3}$x為雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$                                             
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線(xiàn)C的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出橢圓G滿(mǎn)足的條件，求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，利用待定系數(shù)法求圓錐曲線(xiàn)的方程其中橢圓中三系數(shù)的關(guān)系是：a²=b²+c²；雙曲線(xiàn)中系數(shù)的關(guān)系是：c²=a²+b²．