【題目】已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)到直線的距離，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：到直線的距離為定值.

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）結(jié)合離心率，計(jì)算出a,b,c之間的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線距離，計(jì)算a,b值，即可。（2）分直線AB斜率存在與不存在討論，結(jié)合直線方程和橢圓方程,并利用,計(jì)算O到直線距離,即可.

（1）∵橢圓的離心率，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∵橢圓的左頂點(diǎn)到直線，即到的距離，

∴，

把代入得：，解得：，

∴，，

∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)，

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由橢圓的性質(zhì)可得：，，

∵當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，

∴，即，也就是，

又∵點(diǎn)在橢圓上， ∴，

∵以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且平行于軸，

∴，∴，解得：

此時(shí)點(diǎn)到直線的距離

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立有，消去，得

∴，，

同理：，消去，得，

即，∴

∵為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，∴

∴

∴

∴

∴點(diǎn)到直線的距離

綜上所述，點(diǎn)到直線的距離為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某網(wǎng)店經(jīng)營(yíng)的一種商品進(jìn)行進(jìn)價(jià)是每件10元，根據(jù)一周的銷售數(shù)據(jù)得出周銷售量（件）與單價(jià)（元）之間的關(guān)系如下圖所示，該網(wǎng)店與這種商品有關(guān)的周開支均為25元.

（1）根據(jù)周銷售量圖寫出（件）與單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）寫出利潤(rùn)（元）與單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)該商品的銷售價(jià)格為多少元時(shí)，周利潤(rùn)最大？并求出最大周利潤(rùn).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】宿州泗縣石龍湖國(guó)家濕地公園是保存完好的典型濕地生態(tài)系統(tǒng)，具有得天獨(dú)厚的旅游資源.某日一游船在湖上游玩航行中突然遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，駐湖救援隊(duì)在處獲悉后，立即測(cè)出該游船在北偏東方向上，距離有千米的處，并測(cè)得游船正沿東偏南的方向，以千米/時(shí)的速度向湖心小島靠攏，救援艦艇立即以千米/時(shí)的速度前去營(yíng)救，若想用最短的時(shí)間營(yíng)救游船，求艦艇的航行方向和所需時(shí)間.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè).若滿射，滿足：對(duì)任意的，，則稱為“和諧函數(shù)”.記 ，.設(shè)“和諧映射”為滿足條件：存在正整數(shù)，使得（1）當(dāng)時(shí)，若，，則 ；（2）若 ，，則，求的最大可能值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一種排卡游戲規(guī)則如下：將寫有的九張卡片隨機(jī)地排成一行，第一張卡片：左起）上的標(biāo)數(shù)為，則將前張卡片逆序排過(guò)來(lái)稱為一次操作，無(wú)法操作時(shí)（即第一張卡片上的標(biāo)數(shù)“1”）游戲停止.若一個(gè)排列無(wú)法操作，且恰由唯一的另一個(gè)排列經(jīng)過(guò)一次操作得到，則此排列稱為“二次終止排列”.在所有可能的排列中，求二次終止排列出現(xiàn)的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于曲線：上原點(diǎn)之外的每一點(diǎn)，求證存在過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)、，使與均為等腰三角形．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有5個(gè)匣子，每個(gè)匣子有一把鑰匙，并且鑰匙不能通用．如果隨意在每一個(gè)匣內(nèi)放入一把鑰匙，然后把匣子全都鎖上．現(xiàn)在允許砸開一個(gè)匣子，使得能相繼用鑰匙打開其余4個(gè)匣子，那么鑰匙的放法有______種．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知集合，其中，是函數(shù)定義城內(nèi)任意不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù).

（1）若，同時(shí)，求證：；

（2）判斷是否在集合A中，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>B，函數(shù)的值域?yàn)?/span>C.函數(shù)滿足以下3個(gè)條件：

①，②，③.試確定一個(gè)滿足以上3個(gè)條件的函數(shù)要對(duì)滿足的條件進(jìn)行說(shuō)明）.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求的解析式；

（2）證明：曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案