Question

7．如圖，平行四邊形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ECD．
（Ⅱ）求D點(diǎn)到面CEB的距離．

Answer 1

分析 （ I）由條件證明ED⊥BD，再根據(jù)BD⊥CD，利用直線和平面垂直的判定定理證得BD⊥平面ECD．
（ II）先求△CBE的面積，Rt△BCD的面積，設(shè)點(diǎn)D到到面CEB的距離為h，利用等體積法求點(diǎn)D到平面CBE的距離h的值．

解答 （ I）證明：∵四邊形ADEF為正方形，
∴ED⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD．
又∵BD⊥CD，ED∩CD=D，
∴BD⊥平面ECD．
（ II）解：∵CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，
又∵正方形ADEF，∴CB=2，CE=$\sqrt{5}$，$BE=\sqrt{7}$，
∴$cos∠BCE=\frac{4+5-7}{{2×2×\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{10}$，∴${S_{△CEB}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{95}}}{10}=\frac{{\sqrt{19}}}{2}$，
Rt△BCD的面積等于 S_△BCD=$\frac{1}{2}$•1•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由得（ I）ED⊥平面ABCD，∴點(diǎn)E到平面BCD的距離為ED=2，設(shè)點(diǎn)D到到面CEB的距離為h，
∴${V_{D-CEB}}={V_{E-CDB}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.1.\sqrt{3}.2=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{19}}}{2}×h$，∴h=$\frac{2\sqrt{57}}{19}$，
即點(diǎn)D到到面CEB的距離為$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和平面垂直的判定和性質(zhì)，利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．