Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）記數(shù)列的前n項和為Tn，求證： Tn＜1．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式得到an=2an﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差數(shù)列求出數(shù)列首項，可得數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則其通項公式可求；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出數(shù)列的通項公式，再由等比數(shù)列的前n項和求得T，再利用單調(diào)性求出T的范圍.

(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.

又因為a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.

所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．

故an＝2n.

(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.

由1－.在自然數(shù)集上遞增，可得n=1時取得最小值，

且1－＜1，

則≤Tn＜1．