Question

2．已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+$\frac{f'（1）-1}{3}$x²（a＜-1）對任意的x₁、x₂＞0，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，則a的取值范圍為（-∞，-2]．

Answer 1

分析 求得f（x）的導數(shù)f′（x），由$f'（1）=a+1+\frac{2}{3}（f'（1）-1）$，求得f′（1）=3a+1，求得f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將原式轉(zhuǎn)化成f（x₁）+4x₁≥f（x₂）+4x₂，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，F(xiàn)（x）≤0，即可求得a的取值范圍．

解答 解：由f′（x）=$\frac{a+1}{x}$+$\frac{2（f′（1）-1）}{3}$x，
$f'（1）=a+1+\frac{2}{3}（f'（1）-1）$得f′（1）=3a+1，
所以f（x）=（a+1）lnx+ax²，（a＜-1）在（0，+∞）單調(diào)遞減，不妨設0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）≥4x₂-4x₁，即f（x₁）+4x₁≥f（x₂）+4x₂，
令F（x）=f（x）+4x，F(xiàn)′（x）=f′（x）+4=$\frac{a+1}{x}$+2ax+4，
等價于F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故F'（x）≤0恒成立，即$\frac{a+1}{x}$+2ax+4≤0，
所以$a≤-\frac{4x+1}{{2{x^2}+1}}$恒成立，
得a≤-2．
故答案為：（-∞，-2]．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了分離參數(shù)法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．