【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣2ax+1+lnx
(1)當(dāng)a=0時(shí),若函數(shù)f(x)在其圖象上任意一點(diǎn)A處的切線斜率為k,求k的最小值,并求此時(shí)的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為x1 , 證明:x1lnx1﹣ax12>﹣1.

【答案】
(1)解:∵a=0,∴ ,

,當(dāng)僅當(dāng) 時(shí),即x=1時(shí),f'(x)的最小值為2,

∴斜率k的最小值為2,切點(diǎn)A ,

∴切線方程為 ,即4x﹣2y﹣1=0;


(2)解:∵ ,

①當(dāng)﹣1≤a≤1時(shí),f(x)單調(diào)遞增無(wú)極值點(diǎn),不符合題意;

②當(dāng)a>1或a<﹣1時(shí),令f'(x)=0,設(shè)x2﹣2ax+1=0的兩根為x1和x2

因?yàn)閤1為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),所以0<x1<x2

又x1x2=1,x1+x2=2a>0,∴a>1,0<x1<1,

∴f′(x1)=0, ,則 ,

= = ,x1∈(0,1),

,x∈(0,1),

,∴h′(x)=﹣3x+ = ,x∈(0,1),

當(dāng) 時(shí),h′(x)>0,當(dāng) 時(shí),h′(x)<0,

∴h′(x)在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,

,

∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

∴h(x)>h(1)=﹣1,原題得證.


【解析】(1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),由基本不等式可得斜率的最小值,及切點(diǎn),運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程;(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),討論判別式的符號(hào),設(shè)出二次方程的兩根,運(yùn)用韋達(dá)定理和構(gòu)造函數(shù) ,x∈(0,1),求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值,即可得證.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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①不在直線系M中的點(diǎn)都落在面積為π的區(qū)域內(nèi)
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③直線系M中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)
④對(duì)于任意整數(shù)n(n≥3),存在正n邊形,其所有邊均在直線系M中的直線上
其中真命題的代號(hào)是(寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)).

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A.2
B.3
C.
D.

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