Question

已知：如圖，ABCD是邊長為2的正方形，PC⊥面ABCD，PC＝2，E、F是AB、AD中點(diǎn)．求：點(diǎn)B到平面PEF的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解析：由BD∥EF可證DB∥平面PEF，則點(diǎn)B到平面PEF的距離轉(zhuǎn)化為直線與平面PEF的距離．又由平面PCA垂直平面PEF，故DB與AC的交點(diǎn)到兩垂直平面的交線的距離為所求距離． 　　方法一：連接DB，AC交于O點(diǎn)，設(shè)AC交EF于G，連PG， 　　作OH⊥PG，H為垂足． 　　∵E、F是AB、AD中點(diǎn)，∴EF∥DB，∴DB∥面PEF， 　　∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC， 　　∵PC⊥面ABCD，∴EF⊥PC，∴EF⊥面PCG， 　　∵EFÌ 面PEF，∴面PEF⊥面PCG， 　　∵OH⊥PG，∴OH⊥面PEF，即OH為所求點(diǎn)B到平面PEF的距離． 　　由ABCD邊長為2，∴AC＝2，GO＝，GC＝， 　　∵PC⊥面ABCD，∴PC⊥AC， 　　∴△OHG∽△PCG，∴， 　　由PC＝2，PG＝ 　　∴OH＝＝ 　　即點(diǎn)B到平面PEF的距離為． 　　方法二：如圖，連接BF、PB，設(shè)點(diǎn)B到平面PEF的距離為d， 　　由VP－BEF＝S△BEF·PC 　　＝××BE×AF×PC 　　＝×1×1×2＝ 　　連AC交EF于G，連PG，由方法一知 　　PG＝，EF＝，S△PEF＝××＝ 　　∴VB－PEF＝·S△PEF·d＝VP－BEF＝， 　　∴d＝1d＝ 　　即點(diǎn)B到平面PEF的距離為．