Question

16．如圖，已知正三棱錐的側(cè)棱長為2，底面周長為9．
（1）求這個正三棱錐的體積；
（2）求這個正三棱錐的外接球的體積．

Answer 1

分析 （1）由正三棱錐的底面周長可知底面三角形的邊長，可求出底面△ABC的面積，頂點S在底面ABC上的射影為△ABC的中心O，又在Rt△SOC中，由勾股定理求得高SO，這樣可以求得三棱錐的體積；
（2）由CO＞SO，在平面SOC內(nèi)作SC的垂直平分線交SO的延長線于M，則M為正三棱錐的外接球的球心，連接MC，設(shè)MC=R，求出OM，再由SM=CM求得R，代入球的體積公式得答案．

解答 解：（1）如圖：∵S-ABC為正三棱錐，
∴S在平面ABC上的射影為△ABC的中心O．
又SC=2，△ABC的周長是L_△ABC=9，∴AB=3，
連接CO并延長交AB于D，則CD⊥AB，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•BC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，CO=$\frac{2}{3}$•CD=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐的高SO=$\sqrt{S{C}^{2}-C{O}^{2}}$=1；
∴三棱錐的體積V_S-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•SO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3$×sin60°×1=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（2）在平面SOC內(nèi)作SC的垂直平分線交SO的延長線于M，則M為正三棱錐的外接球的球心，
連接MC，設(shè)MC=R，則OM=$\sqrt{{R}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{{R}^{2}-3}$，
由SM=CM，得$（1+\sqrt{{R}^{2}-3}）^{2}={R}^{2}$，解得：R²=4，R=2．
∴這個正三棱錐的外接球的體積為$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{4}{3}π×8=\frac{32}{3}π$．

點評 本題考查了正三棱錐的體積，考查正三棱錐外接球體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．