Question

4．非空集合G關于運算⊕滿足：
（1）對任意a，b∈G，都有a+b∈G；
（2）存在e∈G使得對于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，
則稱G是關于運算⊕的融洽集，
現(xiàn)有下列集合與運算：
①G是非負整數(shù)集，⊕：實數(shù)的加法；
②G是偶數(shù)集，⊕：實數(shù)的乘法；
③G是所有二次三項式構成的集合，⊕：多項式的乘法；
④G={x|x=a+b$\sqrt{2}$，a，b∈Q}，⊕：實數(shù)的乘法；
其中屬于融洽集的是①④（請?zhí)顚懢幪枺?

Answer 1

分析 逐一驗證幾個選項是否分別滿足“融洽集”的兩個條件，若兩個條件都滿足，是“融洽集”，有一個不滿足，則不是“融洽集”．

解答 解：①對于任意非負整數(shù)a，b知道：a+b仍為非負整數(shù)，所以a⊕b∈G；取e=0，及任意非負整數(shù)a，則a+0=0+a=a，因此G對于⊕為整數(shù)的加法運算來說是“融洽集”；
②對于任意偶數(shù)a，b知道：a+b仍為偶數(shù)，故有a+b∈G；但是不存在e∈G，使對一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，故②的G不是“融洽集”．
③對于G={二次三項式}，若a、b∈G時，a，b的兩個同類項系數(shù)，則其積不再為二次三項式，故G不是和諧集，故③不正確；
④G={x|x=a+b$\sqrt{2}$，a，b∈Q}，設x₁=a+b$\sqrt{2}$，x₂=c+d$\sqrt{2}$，則設x₁+x₂=（a+c）+（b+d）$\sqrt{2}$，屬于集合G，
取e=1，a×1=1×a=a，因此G對于⊕實數(shù)的乘法運算來說是“融洽集”，故④中的G是“融洽集”．
故答案為①④．

點評 本題考查了對新定義“融洽集”理解能力，及對有關知識的掌握情況．關鍵是看所給的數(shù)集是否滿足“融洽集”的兩個條件．