已知橢圓:的右焦點為,短軸的一個端點到的距離等于焦距.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線與橢圓交于不同的兩點,,是否存在直線,使得△與△的面積比值為?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
(1);(2).
解析試題分析:(1)由已知得,,利用,所以橢圓的方程為 ;(2)根據(jù)三角形的面積公式知等價于 ,要對斜率進行討論,當直線斜率不存在時,,不符合題意,舍去;當直線斜率存在時,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立得,由韋達定理及由得,解得.
試題解析:(1)由已知得, 3分
,所以橢圓的方程為 4分
(2)等價于 2分
當直線斜率不存在時,,不符合題意,舍去; 3分
當直線斜率存在時,設(shè)直線的方程為,
由消并整理得 5分
設(shè),,則
①,② 7分
由得③
由①②③解得,因此存在直線:使得與
的面積比值為 9分
考點:1.圓錐曲線方程的求解;2.直線與圓錐曲線聯(lián)立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2011•山東)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓.如圖所示,斜率為k(k>0)且不過原點的直線l交橢圓C于A,B兩點,線段AB的中點為E,射線OE交橢圓C于點G,交直線x=﹣3于點D(﹣3,m).
(1)求m2+k2的最小值;
(2)若|OG|2=|OD|?|OE|,
(i)求證:直線l過定點;
(ii)試問點B,G能否關(guān)于x軸對稱?若能,求出此時△ABG的外接圓方程;若不能,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
長方形中,,.以的中點為坐標原點,建立如圖所示的直角坐標系.
(1) 求以、為焦點,且過、兩點的橢圓的標準方程;
(2) 過點的直線交(1)中橢圓于兩點,是否存在直線,使得以線段為直徑的圓恰好過坐標原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,如圖,已知橢圓E:的左、右頂點分別為、,上、下頂點分別為、.設(shè)直線的傾斜角的正弦值為,圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對稱.
(1)求橢圓E的離心率;
(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若圓的面積為,求圓的方程.
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如圖,已知,,,分別是橢圓的四個頂點,△是一個邊長為2的等邊三角形,其外接圓為圓.
(1)求橢圓及圓的方程;
(2)若點是圓劣弧上一動點(點異于端點,),直線分別交線段,橢圓于點,,直線與交于點.
(。┣的最大值;
(ⅱ)試問:..,兩點的橫坐標之和是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.
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已知橢圓的離心率,且直線是拋物線的一條切線.
(1)求橢圓的方程;
(2)點P 為橢圓上一點,直線,判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由;
(3)過橢圓上一點P作橢圓的切線交直線于點A,試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點,若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.
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已知橢圓的右焦點為,短軸的端點分別為,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點且斜率為的直線交橢圓于兩點,弦的垂直平分線與軸相交于點.設(shè)弦的中點為,試求的取值范圍.
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如圖,在平面直角坐標系中,已知,,是橢圓上不同的三點,,,在第三象限,線段的中點在直線上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求點C的坐標;
(3)設(shè)動點在橢圓上(異于點,,)且直線PB,PC分別交直線OA于,兩點,證明為定值并求出該定值.
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