Question

【題目】某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖（如下表所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失�。�

	晉級成功	晉級失敗	合計(jì)
男	16
女			50
合計(jì)

（Ⅰ）求圖中a的值；
（Ⅱ）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)？
（Ⅲ）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．
（參考公式： ，其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k0）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1， 可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，
解得a=0.005；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.20+0.05=0.25，
所以晉級成功的人數(shù)為100×0.25=25（人），
填表如下：

	晉級成功	晉級失敗	合計(jì)
男	16	34	50
女	9	41	50
合計(jì)	25	75	100

假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān)，
根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得 ，
所以有超過85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)；
（Ⅲ）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為1﹣0.25=0.75，
將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，
這人晉級失敗的概率為0.75，
所以X可視為服從二項(xiàng)分布，即 ，
，
故 ，
，
，
，
，
所以X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P（X=k）

數(shù)學(xué)期望為 ，
或（ ）
【解析】（Ⅰ）由頻率和為1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計(jì)算晉級成功的人數(shù)，填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（Ⅲ）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．