【題目】已知函數(shù), .
(1)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),若在上存在極值,求的取值范圍,并判斷極值的正負.
【答案】(1) ;(2)答案見解析.
【解析】試題分析:(1)由題意可知 在上恒成立,構(gòu)造新函數(shù), ,求導根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及極值的判斷,即可求得在上單調(diào)遞增,即可求得的取值范圍;
(2) 若在上存在極值,則或,分類討論,分別構(gòu)造新函數(shù),根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的關(guān)系,即可求得的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)由,得.即在上恒成立
設(shè)函數(shù), .則.
設(shè).則.易知當時, .
∴在上單調(diào)遞增,且.即對恒成立.
∴在上單調(diào)遞增.
∴當時, .
∴,即的取值范圍是.
(Ⅱ), .
∴ .
設(shè),則.
由,得.
當時, ;當時, .
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
且, , .
顯然.
結(jié)合函數(shù)圖象可知,若在上存在極值,
則或.
(。┊,即時,
則必定,使得,且.
當變化時, , , 的變化情況如下表:
- | 0 | + | 0 | - | |
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 極小值 | ↗ | 極大值 | ↘ |
∴當時, 在上的極值為,且.
∵ .
設(shè),其中, .
∵,∴在上單調(diào)遞增, ,當且僅當時取等號.
∵,∴.
∴當時, 在上的極值.
(ⅱ)當,即時,
則必定,使得.
易知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
此時, 在上的極大值是,且.
∴當時, 在上的極值為正數(shù).
綜上所述:當時, 在上存在極值,且極值都為正數(shù).
注:也可由,得.令后再研究在上的極值問題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)a>0,且a≠1,函數(shù)y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,則實數(shù)a的值為________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在與軸的交點處的切線斜率為-1.
(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當時, ;
(3)證明:當時, .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地4個蔬菜大棚頂部,陽光照在一棵棵茁壯生長的蔬菜上,這些采用水培、無土栽培方式種植的各類蔬菜,成為該地區(qū)居民爭相購買的對象,過去50周的資料顯示,該地周光照量(小時)都在30以上,其中不足50的周數(shù)大約5周,不低于50且不超過70的周數(shù)大約有35周,超過70的大約有10周,根據(jù)統(tǒng)計某種改良黃瓜每個蔬菜大棚增加量(百斤)與每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號液體肥料(千克)之間對應數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖,用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;并根據(jù)所求線性回歸方程,估計如果每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號肥料10千克,則這種改良黃瓜每個蔬菜大鵬增加量是多少斤?
(2)因蔬菜大棚對光照要求較大,某光照控制儀商家為應對惡劣天氣對光照的影響,為該基地提供了部分光照控制儀,該商家希望安裝的光照控制儀盡可能運行,但每周光照控制儀最多可運行臺數(shù)受周光照量限制,并有如下關(guān)系:
周光照量(單位:小時) | 30<X<50 | ||
光照控制儀最多可運行臺數(shù) | 3 | 2 | 1 |
若某臺光照控制儀運行,則該臺光照儀周利潤為4000元;若某臺光照儀未運行,則該臺光照儀周虧損500元,欲使商家周總利潤的均值達到最大,應安裝光照控制儀多少臺?
附:回歸方程系數(shù)公式: , .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知數(shù)列的前項和,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)令,是否存在,使得、、成等比數(shù)列.若存在,求出所有符合條件的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若A∪B=A,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當x∈Z時,求A的非空真子集的個數(shù);
(3)當x∈R時,若A∩B=,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為打贏打好脫貧攻堅戰(zhàn),實現(xiàn)建檔立卡貧困人員穩(wěn)定增收,某地區(qū)把特色養(yǎng)殖確定為脫貧特色主導產(chǎn)業(yè),助力鄉(xiāng)村振興.現(xiàn)計劃建造一個室內(nèi)面積為平方米的矩形溫室大棚,并在溫室大棚內(nèi)建兩個大小、形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池,其中沿溫室大棚前、后、左、右內(nèi)墻各保留米寬的通道,兩養(yǎng)殖池之間保留2米寬的通道.設(shè)溫室的一邊長度為米,如圖所示.
(1)將兩個養(yǎng)殖池的總面積表示為的函數(shù),并寫出定義域;
(2)當溫室的邊長取何值時,總面積最大?最大值是多少?
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