Question

4．已知命題p：?x∈R，x²+1≥a都成立；命題q：方程（ρcosα）²-（ρsina）²=a+2表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．
（Ⅰ）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若“p且q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若命題p為真命題，可得x²+1≥a都成立，轉(zhuǎn)化為a≤（x²+1）_min，x∈R．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（Ⅱ）由命題q：方程（ρcosα）²-（ρsina）²=a+2，即x²-y²=a+2表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，可得a+2＞0．由“p且q”為真命題，可得：p與q都為真命題．

解答 解：（Ⅰ）∵若命題p為真命題，∴x²+1≥a都成立，
∴a≤（x²+1）_min，x∈R．
∴a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．
（Ⅱ）∵命題q：方程（ρcosα）²-（ρsina）²=a+2，
即x²-y²=a+2表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，∴a+2＞0，即a＞-2，．
又“p且q”為真命題，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a＞-2}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，1]．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．