Question

16．在平面直角坐標系xOy中，點P（t²，2t）（t為參數(shù)），若以原點O為原點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線l的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ+2=0
（1）求點P的軌跡方程．
（2）求一點P，使它到直線l的距離最小，并求最小值．

Answer 1

分析 （1）點P（t²，2t）（t為參數(shù)），可得$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=2t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t化為普通方程即可得出．
（2）曲線l的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ+2=0，化為直角坐標方程：x-y+2=0．利用點到直線的距離公式可得：點P（t²，2t）到直線l的距離d，再利用二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：（1）點P（t²，2t）（t為參數(shù)），可得$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=2t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t化為普通方程，y²=4x．即為點P的軌跡方程．
（2）曲線l的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ+2=0，化為直角坐標方程：x-y+2=0．
點P（t²，2t）到直線l的距離d=$\frac{|{t}^{2}-2t+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}+1}{\sqrt{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當且僅當t=1時取等號．
∴取點P（1，2），它到直線l的距離最小，最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程的應用、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．