Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當PD=

2

AB=2，E是PB的中點，求三棱錐A-PED的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由線面垂直得到PD⊥AC，由正方形性質得到BD⊥AC，所以AC⊥平面PDB，由此能證明平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）由已知可得三棱錐A-PDE的高為AO（O為對角線交點在△PDE中面積為△PDB的一半，代入可得答案．

解答： （Ⅰ）證明：∵四棱錐底面為正方形，
∴AC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面AEC，
∴平面PBD⊥平面AEC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥平面PBD，∴AC⊥平面PDE，
∴三棱錐A-PDE的高為AO（O為對角線交點），
∵E是PB的中點，
在△PDE中面積為△PDB的一半，
∴S=

1

2

×

1

2

×2×2=1，
∴VA-PDE=

1

3

•S•AO=

1

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐A-PED的體積，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．