Question

14．有以下結論：①函數y=log₂（1-x）的增區(qū)間是（-∞，1）；②若冪函數y=f（x）的圖象經過點（2，$\sqrt{2}$），則該函數為偶函數；③函數y=3^|x|的值域是[1，+∞）；④若函數y=f（x）為單調增函數，則函數$y=\frac{1}{f（x）}$為減函數．
其中正確結論的序號是③．（把所有正確的結論的序號都填上）

Answer 1

分析 ①根據復合函數單調性的關系進行判斷，
②根據冪函數的定義利用待定系數求出函數的解析式即可
③根據指數函數的性質進行判斷
④根據函數單調性的關系進行判斷．

解答 解：①由1-x＞0得x＜1，即函數的定義域為（-∞，1），
由復合函數的單調性的性質知函數y=log₂（1-x）的減區(qū)間是（-∞，1）；故①錯誤，
②若冪函數y=f（x）的圖象經過點（2，$\sqrt{2}$），
設f（x）=x^α，
則f（2）=2^α=$\sqrt{2}$，得α=$\frac{1}{2}$，即f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，則函數的定義域為[0，+∞），則該函數為非奇非偶函數，故②錯誤
③函數y=3^|x|≥3⁰=1，即函數的值域是[1，+∞）；故③正確，
④若函數y=f（x）為單調增函數，則函數$y=\frac{1}{f（x）}$為減函數．錯誤，
比如y=x是增函數，但y=$\frac{1}{x}$在定義域上不是單調函數，故④錯誤，
故答案為：③

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數的定義域，值域，單調性之間的考查，綜合性較強，但難度不大．