已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，離心率為e．直線(xiàn)l：y＝ex＋a與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線(xiàn)l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．設(shè)．

(1)證明λ＝1－e2；

(2)確定λ的值，使得ΔPF1F2是等腰三角形．

答案：
解析：

　　解：(1)證法一：因?yàn)锳、B分別是直線(xiàn)l：y＝ex＋a與x軸、y軸的交點(diǎn)．所以A、B的坐標(biāo)分別是(，0)，(0，a)．由得

　　這里c＝，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(－c，)．

　　由得(，)＝λ(，a)

　　即，解得λ＝1－e2．

　　證法二：因?yàn)锳、B分別是直線(xiàn)l：y＝ex＋a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是(，0)，(0，a)．設(shè)M的坐標(biāo)是(x0，y0)，由得(，y0)＝λ(，a)．

　　所以

　　因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以＝1．

　　即＝1，所以＝1．

　　e4－2(1－λ)e2＋(1－λ)2＝0，

　　解得e2＝1－λ，即λ＝1－e2．

　　(2)解法一：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1為鈍角．要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|、即|PF1|＝c．

　　設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由|PF1|＝d＝＝c，

　　得＝e，所以e2＝．于是λ＝1－e2＝．

　　即當(dāng)λ＝時(shí)，△PF1F2為等腰三角形．

　　解法二：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|．

　　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)，則解得

　　由|PF1|＝|F1F2|

　　得[]2＋[]2＝4c2，兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得＝e2．

　　從而e2＝．于是λ＝1－e2＝．

　　即當(dāng)λ＝1－e2＝時(shí)，△PF1F2為等腰三角形．


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已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P(2，)，點(diǎn)F2在線(xiàn)段PF1的中垂線(xiàn)上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)l：kx＋m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線(xiàn)F2M與F2N的傾斜角分別為α，β且α＋β＝π，求證：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)，⊙O：x2＋y2＝b2，點(diǎn)A，F分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)若P(－1，)，PA是⊙O的切線(xiàn)，求橢圓C的方程；

(2)是否存在這樣的橢圓C，使得是常數(shù)？如果存在，求C的離心率，如果不存在，說(shuō)明理由．

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已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的右準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x＝，短軸長(zhǎng)為2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)定點(diǎn)B（1，0）作直線(xiàn)l與橢圓C相交于P，Q（異于A1，A2）兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)PA1與直線(xiàn)QA2相交于點(diǎn)M（2x0，y0）．

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②求證：點(diǎn)M始終在一條定直線(xiàn)上．

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（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)定點(diǎn)B（1，0）作直線(xiàn)l與橢圓C相交于P，Q（異于A1，A2）兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)PA1與直線(xiàn)QA2相交于點(diǎn)M（2x0，y0）．

①試用x0，y0表示點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；

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(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線(xiàn)l：x＝my＋1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)A1P與A2Q交于點(diǎn)S.試問(wèn)：當(dāng)直線(xiàn)l變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線(xiàn)上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條定直線(xiàn)的方程，并證明你的結(jié)論：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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