Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-blnx（a，b∈R），g（x）=x²．
（1）若a=1，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直，求b的值；
（2）若b=2，試探究函數(shù)f（x）與g（x）在其公共點處是否有公切線，若存在，研究a的個數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，可得f′（1）=0，從而可求b的值；
（2）假設f（x），g（x）的圖象在其公共點（x₀，y₀）處存在公切線，分別求出導數(shù)，令f′（x₀）=g′（x₀），得x₀=

a

2

，討論a，分a≤0，a＞0，令f（

a

2

）=g（

a

2

），研究方程解的個數(shù)，可構造函數(shù)，運用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，討論函數(shù)的零點個數(shù)即可判斷．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x-

1

x

-blnx，
∴f′（x）=1+

1

x2

-

b

x

，
由于曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，
故該切線斜率為0，即f′（1）=0，即1+1-b=0，
∴b=2；
（2）假設f（x），g（x）的圖象在其公共點（x₀，y₀）處存在公切線，
由f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，得f′（x）=

ax2-2x+a

x2

，g′（x）=2x，
由f′（x₀）=g′（x₀），得

ax02-2x0+a

x02

=2x₀，即2x₀³-ax₀²+2x₀-a=0，
即（x₀²+1）（2x₀-a）=0，則x₀=

a

2

，
又函數(shù)的定義域為（0，+∞），
當a≤0時，x₀=

a

2

≤0，則f（x），g（x）的圖象在其公共點（x₀，y₀）處不存在公切線；
當a＞0時，令f（

a

2

）=g（

a

2

），

a2

2

-2ln

a

2

-2=

a2

4

，
即

a2-8

8

=ln

a

2

，
令h（x）=

x2-8

8

-ln

x

2

（x＞0），
h′（x）=

1

4

x-

1

x

=

x2-4

4x

，
則h（x）在（0，2）遞減，（2，+∞）遞增．且h（2）=-

1

2

＜0，
且當x→0時，h（x）→+∞；當x→+∞時，h（x）→+∞，
∴h（x）在（0，+∞）有兩個零點，
∴方程

a2-8

8

=ln

a

2

在（0，+∞）解的個數(shù)為2．
綜上：當a≤0時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在其公共點處不存在公切線；
當a＞0時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在其公共點處存在公切線，a的值有2個．

點評：本題重點考查利用導數(shù)求切線方程和研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．